1. Phân tích bài toán

Yêu cầu: Tìm hai số nguyên \(a, b\) sao cho \(a \times b = N\) và \(|a - b|\) đạt giá trị nhỏ nhất.
Gọi \(M = |N|\) là giá trị tuyệt đối của \(N\).

Trường hợp \(N = 0\):

• Ta có thể chọn \(a = 0, b = 0\).
• Khi đó \(0 \times 0 = 0\) và \(|0 - 0| = 0\).
• Kết quả: 0.

Trường hợp \(N > 0\):

• Để \(a \times b > 0\), hai số \(a\) và \(b\) phải cùng dấu. Để \(|a - b|\) nhỏ nhất, ta xét \(a, b\) cùng dương.
• Giả sử \(a \le b\). Khi đó \(a \times b = N \Rightarrow a \le \sqrt{N}\).
• Hiệu \(b - a\) nhỏ nhất khi \(a\) và \(b\) gần nhau nhất.
• Giải pháp: Tìm ước lớn nhất của \(N\) mà không vượt quá \(\sqrt{N}\). Gọi ước đó là \(a\), số còn lại là \(b = N/a\).
• Kết quả: \(b - a\).

Trường hợp \(N < 0\):

• Để \(a \times b < 0\), hai số \(a\) và \(b\) phải trái dấu.
• Gọi \(a\) và \(b\) là hai ước dương của \(M\) sao cho \(a \times b = M\). Cặp số cần tìm sẽ là \((a, -b)\) hoặc \((-a, b)\).
• Khi đó \(|a - (-b)| = a + b\).
• Theo bất đẳng thức Cauchy, \(a + b\) nhỏ nhất khi \(a\) và \(b\) gần nhau nhất (tích \(a \times b\) không đổi).
• Giải pháp: Tìm ước lớn nhất của \(M\) mà không vượt quá \(\sqrt{M}\). Gọi ước đó là \(a\), số còn lại là \(b = M/a\).
• Kết quả: \(a + b\).

2. Thuật toán chi tiết

1. Đọc số nguyên \(N\).
2. Nếu \(N = 0\), in ra \(0\) và kết thúc.
3. Tính \(M = |N|\).
4. Duyệt tìm \(a\) là ước lớn nhất của \(M\) trong đoạn \([1, \sqrt{M}]\).
5. Tính \(b = M / a\).
6. Nếu \(N > 0\): In ra \(b - a\).
7. Nếu \(N < 0\): In ra \(b + a\).
   Độ phức tạp: \(O(\sqrt{|N|})\). Với \(|N| \le 10^{12}\), \(\sqrt{|N|} \le 10^6\), thuật toán chạy tốt trong giới hạn \(1\) giây.

3. Mã nguồn C++ hoàn chỉnh

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main() {
    // Toi uu toc do nhap xuat
    ios_base::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(NULL);

    long long n;
    if (!(cin >> n)) return 0;

    // Xu ly truong hop N = 0
    if (n == 0) {
        cout << 0 << endl;
        return 0;
    }

    // Lay gia tri tuyet doi de xu ly uoc so
    long long m = llabs(n);
    long long a = 1;

    // Tim uoc lon nhat <= can bac hai cua M
    long long root = sqrt((long double)m);
    for (long long i = root; i >= 1; i--) {
        if (m % i == 0) {
            a = i;
            break;
        }
    }

    long long b = m / a;

    // Xuat ket qua dua tren dau cua N
    if (n > 0) {
        // Neu N duong, a va b cung dau: |b - a|
        cout << b - a << endl;
    } else {
        // Neu N am, a va b trai dau: |a - (-b)| = a + b
        cout << a + b << endl;
    }

    return 0;
}