Nếu hỏi trong toàn bộ lịch sử của Trường Phù thủy và Pháp sư \(Hogwarts\) rằng môn học nào khiến học sinh đau đầu nhất, phần lớn mọi người sẽ nghĩ ngay đến Độc dược của giáo sư \(Severus\ Snape\), hoặc Biến hình của giáo sư \(Minerva\ McGonagall\). Một vài người khác sẽ nhắc đến Phòng chống Nghệ thuật Hắc ám vì đây là môn học luôn xuất hiện những biến cố kỳ lạ qua từng năm. Cũng có những học sinh cho rằng Lịch sử Pháp thuật mới thật sự đáng sợ, bởi ngay cả những hồn ma đã sống hàng trăm năm cũng có thể khiến cả lớp ngủ gật chỉ sau vài phút kể chuyện.

Tuy nhiên, trong số tất cả những môn học được giảng dạy tại \(Hogwarts\), có một môn không nổi tiếng vì những trận đấu phép thuật, cũng không nổi tiếng vì những câu thần chú mạnh mẽ, nhưng lại được xem là một trong những lĩnh vực quan trọng nhất đối với những phù thủy muốn hiểu sâu hơn về bản chất của thế giới.

Đó là Số học Phép thuật \(Arithmancy\).

Nhiều học sinh cho rằng Số học Phép thuật chỉ là việc nghiên cứu những con số liên quan đến tên tuổi, ngày sinh hoặc những dự đoán đơn giản. Nhưng những phù thủy cổ đại từng nghiên cứu lĩnh vực này lại tin rằng mọi hiện tượng trong thế giới phép thuật đều có một quy luật ẩn phía sau.

Một câu thần chú được tạo ra không chỉ bởi chuyển động của đũa phép.

Một loại độc dược không chỉ phụ thuộc vào nguyên liệu.

Một hiện tượng ma thuật không chỉ xảy ra một cách ngẫu nhiên.

Tất cả đều có thể tồn tại một cấu trúc, và cấu trúc đó có thể được mô tả bằng những con số.

Chính vì lý do ấy, từ hàng trăm năm trước, những nhà nghiên cứu của \(Hogwarts\) đã bắt đầu tìm kiếm các dạng số đặc biệt. Họ nghiên cứu những con số xuất hiện trong tự nhiên, trong các phép thuật cổ đại, trong các công thức biến đổi vật chất và trong cả những hiện tượng mà chưa một phù thủy nào giải thích được.

Ba hướng nghiên cứu lớn nhất trong lịch sử Số học Phép thuật được biết đến thông qua ba khái niệm nổi tiếng:

Số Nguyên Tố \(P\), Số Catalan \(C\) và Dãy Fibonacci \(F\)

Trong nhiều thế kỷ, các phù thủy đã cố gắng tìm ra mối liên hệ giữa chúng. Có người cho rằng chúng là ba phần của cùng một quy luật. Có người lại cho rằng chúng hoàn toàn độc lập và việc tìm kiếm sự liên kết giữa chúng chỉ là một giấc mơ vô nghĩa.

Nhưng tất cả những nghiên cứu đó đều có chung một điểm.

Chưa từng có ai tìm ra một dãy số mới được tạo nên từ những quy luật ấy.

Cho đến khi một cái tên xuất hiện.

Một cái tên không nằm trong bất kỳ gia phả phù thủy nào.

Không nằm trong hồ sơ của Bộ Pháp thuật.

Không xuất hiện trong bất kỳ cuốn sách lịch sử nào của giới phù thủy.

Youtuber_TWK

...

Năm học thứ sáu của \(Harry\ Potter\) tại \(Hogwarts\) bắt đầu trong một bầu không khí hoàn toàn khác so với những năm trước. Những ngày tháng yên bình gần như đã biến mất khi sự trở lại của \(Lord\ Voldemort\) trở thành sự thật. Bộ Pháp thuật liên tục đưa ra những cảnh báo mới, các Thần sáng phải làm việc ngày đêm, còn những phù thủy bình thường thì luôn sống trong sự lo lắng.

Dù vậy, bên trong lâu đài cổ kính của \(Hogwarts\), cuộc sống vẫn tiếp tục.

Các học sinh vẫn đến lớp.

Các giáo sư vẫn giảng dạy.

Những bức tranh trên tường vẫn tranh cãi với nhau.

Và trong một buổi sáng lạnh giá, khi những tia nắng đầu tiên chiếu qua các ô cửa kính màu của Đại Sảnh Đường, một con cú chưa từng xuất hiện tại \(Hogwarts\) bay thẳng đến bàn của hiệu trưởng.

Nó không mang theo Nhật báo Tiên tri.

Không mang thư từ gia đình của học sinh.

Không mang bất kỳ thông báo nào từ Bộ Pháp thuật.

Nó chỉ mang một phong thư màu đen.

Phong thư không có dấu sáp của bất kỳ gia tộc nào. Không có biểu tượng của \(Hogwarts\). Không có địa chỉ người gửi.

Ở mặt trước chỉ có một dòng chữ viết bằng mực bạc:

Gửi người có thể nhìn thấy quy luật trong sự hỗn loạn.

\(Albus\ Dumbledore\) nhìn phong thư trong vài giây.

Ông đã từng nhìn thấy rất nhiều loại thư kỳ lạ trong suốt cuộc đời mình. Những lời nguyền được giấu trong thư, những thông điệp mã hóa, những vật phẩm nguy hiểm được gửi đến từ những nơi xa xôi.

Nhưng phong thư này khác hoàn toàn.

Nó không có ma thuật.

Không phải là ma thuật bị che giấu.

Mà là hoàn toàn không tồn tại dấu vết phép thuật.

Điều đó khiến \(Dumbledore\) cảm thấy khó hiểu hơn bất kỳ lời nguyền nào.

Ông mở phong thư.

Bên trong chỉ có một mảnh giấy trắng.

Không có lời giải thích.

Không có tên người gửi.

Không có ký hiệu đặc biệt.

Chỉ có duy nhất một con số.

5

...

Ngay trong buổi tối hôm đó, văn phòng hiệu trưởng trở thành nơi diễn ra một cuộc thảo luận đặc biệt. \(Dumbledore\) triệu tập \(Minerva\ McGonagall\), \(Severus\ Snape\), \(Filius\ Flitwick\) và giáo sư phụ trách Số học Phép thuật.

Mảnh giấy nhỏ được đặt giữa chiếc bàn gỗ.

Không ai lên tiếng trong một khoảng thời gian.

Cuối cùng, \(McGonagall\) nói:

Chỉ là một con số.

\(Dumbledore\) nhẹ nhàng gật đầu.

Đúng vậy. Nhưng điều quan trọng không nằm ở giá trị của nó.

Điều quan trọng là tại sao có người lại gửi đúng một con số duy nhất.

Giáo sư \(Flitwick\) thử kiểm tra bằng một số phép thuật nhận diện. Kết quả không có gì bất thường.

\(Snape\) sử dụng những phương pháp phức tạp hơn để tìm dấu vết của bùa chú hoặc độc dược.

Nhưng tất cả đều thất bại.

Cuối cùng, \(Dumbledore\) quyết định dùng một phép thuật mà ông rất hiếm khi sử dụng.

\(Legilimency\).

Thông thường, \(Legilimency\) cho phép một phù thủy nhìn vào suy nghĩ và ký ức của người khác. Tuy nhiên, những phù thủy đạt đến trình độ cao còn có thể sử dụng nó để đọc lại những dấu vết tinh thần còn sót lại trên đồ vật.

Một vật phẩm phép thuật mạnh thường lưu giữ những mảnh ký ức nhỏ.

Một chiếc đũa phép có thể nhớ người đã sử dụng nó.

Một cuốn sách cổ có thể giữ lại dấu vết của người từng đọc.

Nhưng mảnh giấy này thì không.

Không có hình ảnh.

Không có âm thanh.

Không có cảm giác.

Không có bất kỳ dấu hiệu nào chứng minh nó từng tồn tại trong thế giới phép thuật.

\(Dumbledore\) mở mắt.

Điều này không giống một phép thuật.

\(Snape\) hỏi:

Vậy nó là gì?

\(Dumbledore\) nhìn con số 5 trên tờ giấy.

Ta chưa biết.

Nhưng ta tin rằng đây mới chỉ là phần đầu tiên.

...

Ba ngày sau.

Một phong thư khác xuất hiện.

Không có con cú nào được nhìn thấy.

Không có tiếng động.

Không có ánh sáng phép thuật.

Nó chỉ đơn giản xuất hiện trên bàn làm việc của \(Dumbledore\).

Lần này, bên trong vẫn là một tờ giấy trắng.

Và ở giữa tờ giấy là một con số khác.

8

...

Khi hai mảnh giấy được đặt cạnh nhau, tất cả mọi người trong phòng đều có chung một suy nghĩ.

Đây không phải hai con số riêng biệt.

Đây là hai phần đầu tiên của một thứ lớn hơn.

Một dãy số.

Một quy luật.

Một thông điệp.

\(Hermione\ Granger\) là người đầu tiên bắt đầu nghiên cứu nghiêm túc.

Cô dành nhiều giờ trong thư viện \(Hogwarts\), tìm kiếm mọi tài liệu liên quan đến các dãy số cổ. Hàng chục cuốn sách được mở ra cùng lúc. Những ghi chú viết kín trên giấy da xuất hiện ngày càng nhiều.

\(Harry\ Potter\) nhìn đống tài liệu trước mặt rồi hỏi:

Hermione, cậu thật sự nghĩ có thể tìm ra quy luật chỉ từ hai số sao?

Hermione vẫn tiếp tục viết.

Không.

Nhưng người gửi cố tình chỉ đưa từng số một.

Điều đó có nghĩa là cách chúng xuất hiện cũng quan trọng như chính giá trị của chúng.

\(Ron\ Weasley\) nhìn hai tờ giấy.

Hoặc có thể người đó chỉ thích làm mọi chuyện phức tạp.

Hermione nhìn Ron.

Ron, đây là một bí ẩn liên quan đến \(Hogwarts\), một người gửi thư không rõ danh tính và một dãy số chưa từng được ghi nhận.

Cậu thật sự nghĩ đây chỉ là một trò đùa sao?

Ron suy nghĩ vài giây.

Khi cậu nói đầy đủ như vậy thì nghe đáng sợ thật.

...

Ở một nơi hoàn toàn khác với thế giới phù thủy, một căn phòng nhỏ chỉ được chiếu sáng bởi ánh sáng xanh từ một thiết bị kỳ lạ đang hoạt động liên tục.

Không có đũa phép.

Không có sách thần chú.

Không có những bức tranh biết nói.

Chỉ có những dòng dữ liệu chạy trên màn hình.

Các công thức.

Các phép thử.

Các kết quả.

Và ở giữa màn hình là một dòng chữ:

PCF : Transmission started

Ngồi trước màn hình là người đã gửi những lá thư kia.

Youtuber_TWK

Cậu nhìn vào kết quả truyền dữ liệu.

Hai lần thành công.

Hai mảnh ghép đã đến đúng nơi.

Một người đứng phía sau hỏi:

Cậu chắc rằng họ sẽ hiểu sao?

Youtuber_TWK không quay lại.

Không chắc.

Nhưng nếu người đó thật sự là \(Dumbledore\)...

Ông ấy sẽ không dừng lại.

Trên màn hình xuất hiện một dòng chữ mới.

Waiting for next number...

Ở \(Hogwarts\), không ai biết rằng những con số tiếp theo sẽ không chỉ là những giá trị ngẫu nhiên.

Chúng là những mảnh ghép đầu tiên của một bí mật lớn hơn.

Một bí mật sẽ khiến cả Số học Phép thuật phải thay đổi mãi mãi.

Sau sự xuất hiện của hai mảnh giấy chứa hai con số 5 và 8, toàn bộ giáo viên phụ trách nghiên cứu Số học Phép thuật tại \(Hogwarts\) gần như không còn coi đây là một hiện tượng kỳ lạ thông thường nữa.

Một lá thư có thể là nhầm lẫn.

Một con số có thể là sự trùng hợp.

Nhưng hai con số xuất hiện vào hai thời điểm khác nhau, được gửi bởi một người không để lại bất kỳ dấu vết nào, lại là một chuyện hoàn toàn khác.

Đặc biệt hơn, người gửi dường như không muốn truyền đạt một thông tin hoàn chỉnh.

Người đó đang cố tình chia nhỏ thông điệp.

Như thể muốn người nhận phải tự mình ghép lại từng phần.

Trong thư viện cổ của \(Hogwarts\), \(Hermione\ Granger\) tiếp tục nghiên cứu không ngừng nghỉ. Trước mặt cô là hàng chục cuốn sách về Arithmancy, những bản ghi chép hàng trăm năm tuổi, cùng vô số tài liệu liên quan đến những dạng số từng được các phù thủy nghiên cứu.

\(Harry\ Potter\) bước vào thư viện và nhìn thấy cảnh tượng quen thuộc.

Hermione đang ngồi giữa một đống sách.

Ron \(Weasley\) thì đang cố gắng đọc một cuốn sách dày đến mức có thể dùng làm gối.

Harry hỏi:

Hermione, cậu đã tìm ra gì chưa?

Hermione đóng một cuốn sách lại.

Chưa.

Nhưng mình phát hiện một điều rất quan trọng.

Harry tò mò.

Điều gì?

Hermione chỉ vào hai mảnh giấy.

Người gửi không hề gửi những con số nổi tiếng nhất.

Nếu muốn gây chú ý, họ có thể gửi một số cực lớn hoặc một con số có ý nghĩa đặc biệt.

Nhưng họ lại chọn những con số có vẻ bình thường.

Ron ngẩng đầu lên.

Vậy nghĩa là sao?

Hermione trả lời:

Nghĩa là bản thân từng con số không phải thứ quan trọng nhất.

Thứ quan trọng là vị trí của nó trong một dãy.

...

Trong văn phòng hiệu trưởng, \(Albus\ Dumbledore\) cũng đang suy nghĩ về vấn đề tương tự.

Ông đã thử mọi phương pháp mà mình biết.

Từ những phép kiểm tra ma thuật đơn giản.

Đến những phương pháp nghiên cứu sâu của Arithmancy.

Nhưng tất cả đều dẫn đến cùng một kết quả.

Không có lời giải.

Điều khiến ông chú ý nhất là một chi tiết nhỏ.

Hai lá thư không hề được gửi cùng một cách.

Lá thư đầu tiên xuất hiện thông qua một con cú.

Lá thư thứ hai lại xuất hiện trực tiếp trong phòng làm việc.

Điều này có nghĩa người gửi không chỉ muốn truyền đạt con số.

Người đó còn muốn chứng minh rằng bản thân có thể vượt qua mọi phương pháp bảo vệ của \(Hogwarts\).

\(McGonagall\) nhìn những tấm giấy.

Albus, ông nghĩ người gửi là ai?

\(Dumbledore\) im lặng một lúc.

Ta không biết.

Nhưng ta nghĩ câu hỏi đúng hơn phải là...

Người đó đến từ đâu?

...

Trong lịch sử của giới phù thủy, chưa từng có ai gửi một thông điệp như vậy.

Các phù thủy thường sử dụng chữ viết.

Sử dụng bùa chú.

Sử dụng ký hiệu cổ.

Nhưng người này chỉ sử dụng những con số.

Một ngôn ngữ mà bất kỳ phù thủy nào cũng có thể nhìn thấy, nhưng không phải ai cũng có thể hiểu.

Và điều kỳ lạ nhất là...

Người gửi dường như biết chính xác ai sẽ nhận được thông điệp.

...

Một tuần sau.

Khi mọi người gần như bắt đầu nghĩ rằng sẽ không có thêm lá thư nào xuất hiện, một sự kiện mới xảy ra.

Một tiếng động nhỏ vang lên trong văn phòng hiệu trưởng.

Không phải tiếng mở cửa.

Không phải tiếng bước chân.

Chỉ là âm thanh của một tờ giấy đặt xuống bàn.

\(Dumbledore\) quay lại.

Không có ai ở đó.

Trên bàn là một phong thư màu đen quen thuộc.

Ông mở ra.

Bên trong là một mảnh giấy.

Và lần này.

Một con số mới xuất hiện.

14

...

Khi con số thứ ba được đặt cạnh hai con số trước đó, bầu không khí trong căn phòng thay đổi hoàn toàn.

\(Flitwick\) nhìn ba giá trị.

Ba phần tử.

Có thể bắt đầu kiểm tra quy luật.

Giáo sư Số học Phép thuật lập tức lấy giấy bút.

Bà thử những phép phân tích cơ bản.

Không phải cấp số cộng.

Không phải cấp số nhân.

Không phải một chuỗi truy hồi đơn giản.

Không phải một quy luật quen thuộc trong các tài liệu cổ.

\(Hermione\) cũng tham gia.

Cô viết kín cả bảng.

Rồi cuối cùng dừng lại.

Không thể chỉ nhìn ba số này.

\(Harry\) hỏi:

Tại sao?

Hermione đáp:

Bởi vì nếu đây thật sự là một dãy được tạo ra từ nhiều quy luật khác nhau...

Chúng ta mới chỉ đang nhìn thấy kết quả cuối cùng.

Chúng ta chưa biết thành phần tạo nên nó.

...

Câu nói đó khiến \(Dumbledore\) chú ý.

Ông nhìn Hermione.

Thành phần?

Hermione gật đầu.

Vâng.

Một số dãy số không tự nhiên xuất hiện.

Chúng được tạo nên từ những quy luật nhỏ hơn.

Có thể người gửi đang ghép nhiều loại số lại với nhau.

Lúc đó, giáo sư Arithmancy bỗng đứng dậy.

Bà lấy từ giá sách một cuốn sách rất cũ.

Bìa sách đã bạc màu.

Tên sách gần như không còn nhìn thấy.

Bà mở đến một trang đặc biệt.

Trên đó viết về những nghiên cứu thất bại trong quá khứ.

Các phù thủy từng cố gắng kết hợp nhiều hệ thống số khác nhau để tạo ra một dạng số mới.

Nhưng tất cả đều thất bại.

Bởi vì các quy luật quá khác nhau.

\(Prime\).

\(Catalan\).

\(Fibonacci\).

Ba hướng nghiên cứu tưởng như không thể kết hợp.

...

Ở nơi không thuộc về thế giới phép thuật.

Youtuber_TWK nhìn vào màn hình.

Lần truyền thứ ba đã hoàn thành.

Cậu thấy dữ liệu phản hồi từ một nơi xa xôi.

Không phải tín hiệu điện.

Không phải sóng vô tuyến.

Mà là một dạng liên kết mà chính cậu cũng không thể giải thích hoàn toàn.

Cậu nói nhỏ:

Họ đã bắt đầu tìm ra hướng rồi.

Người phía sau hỏi:

Họ đã biết về ba thành phần chưa?

Youtuber_TWK lắc đầu.

Chưa.

Nhưng họ đang đặt đúng câu hỏi.

Cậu nhìn vào một bảng dữ liệu lớn.

Trên đó là hàng nghìn dòng công thức.

Ở giữa là một cái tên:

PCF

...

Những ngày tiếp theo tại \(Hogwarts\) trở nên kỳ lạ hơn bao giờ hết.

Các học sinh bắt đầu truyền tai nhau về "những con số ma thuật".

Có người nói đó là một lời tiên tri.

Có người nói đó là một mật mã của thế lực hắc ám.

Có người thậm chí tin rằng đó là một thử thách do chính \(Dumbledore\) tạo ra.

Nhưng những người thực sự nghiên cứu nó biết rằng tất cả các giả thuyết đó đều không chính xác.

Đây không phải lời tiên tri.

Không phải mật mã.

Không phải câu đố đơn giản.

Đây là một dãy số.

Và một dãy số luôn cần một quy luật.

...

Một buổi tối, khi \(Harry\), \(Ron\) và \(Hermione\) đang rời thư viện, một con cú khác bay qua cửa sổ.

Nó không đáp xuống.

Nó chỉ thả một phong thư rồi biến mất.

Không ai kịp nhìn thấy nó đến từ đâu.

Hermione mở thư.

Bên trong là một tờ giấy.

Lần này không có gì khác ngoài một con số.

26

...

Bốn con số.

5

8

14

26

Chúng được đặt cạnh nhau trong văn phòng hiệu trưởng.

Không ai nói ra.

Nhưng tất cả đều hiểu.

Đây không còn là một sự kiện ngẫu nhiên.

Một quy luật đang dần hiện ra.

Một quy luật mà người gửi đã biết trước.

Và ở một nơi nào đó, Youtuber_TWK vẫn đang chờ đợi.

Bởi vì bốn mảnh ghép đầu tiên mới chỉ là sự bắt đầu.

Dãy số thật sự vẫn còn rất dài.

Và bí mật lớn nhất vẫn chưa được tiết lộ.

Sau khi con số 26 xuất hiện, các giáo sư tại \(Hogwarts\) không còn xem những lá thư bí ẩn kia là một hiện tượng kỳ lạ đơn giản nữa.

Bốn lần.

Bốn thời điểm khác nhau.

Bốn mảnh giấy hoàn toàn không có dấu vết phép thuật.

Nhưng lại tạo thành một thứ có cấu trúc rõ ràng.

Một dãy số.

Điều khiến \(Albus\ Dumbledore\) quan tâm nhất không phải là việc tìm ra số tiếp theo.

Mà là câu hỏi lớn hơn.

Ai đã tạo ra dãy số này?

Và tại sao người đó lại chọn \(Hogwarts\) làm nơi nhận những mảnh ghép?

...

Trong phòng làm việc của hiệu trưởng, những bản ghi chép bắt đầu xuất hiện ngày càng nhiều.

Trên một chiếc bảng lớn, giáo sư \(Flitwick\) viết lại bốn giá trị đã biết.

5

8

14

26

Bên cạnh chúng là hàng loạt giả thuyết.

Có giả thuyết cho rằng đây là một biến thể của Dãy Fibonacci.

Có giả thuyết cho rằng nó liên quan đến những cấu trúc tổ hợp giống Số Catalan.

Có giả thuyết cho rằng các phần tử được sinh ra từ việc lựa chọn những giá trị đặc biệt trong tập hợp Số Nguyên Tố.

Nhưng không giả thuyết nào hoàn toàn đúng.

Mỗi phương pháp chỉ giải thích được một phần nhỏ.

Giống như việc cố gắng đọc một cuốn sách mà chỉ có vài trang được mở ra.

...

\(Hermione\ Granger\) là người đầu tiên nhận ra vấn đề.

Một buổi tối, khi cả ba đang ngồi trong thư viện, cô đặt cây bút xuống.

Mình nghĩ chúng ta đang mắc một sai lầm.

\(Harry\) ngẩng đầu lên.

Sai lầm gì?

Hermione chỉ vào bảng ghi chép.

Chúng ta đang cố tìm quy luật sinh ra dãy số.

Nhưng có thể người gửi không muốn chúng ta tìm ra quy luật theo cách đó.

Ron nhíu mày.

Ý cậu là sao?

Hermione giải thích:

Hãy tưởng tượng có một chiếc hộp chứa nhiều loại vật phẩm khác nhau.

Nếu nhìn vào chiếc hộp sau khi đã trộn tất cả mọi thứ, chúng ta không thể biết từng món đồ ban đầu được tạo ra như thế nào.

Dãy số này có thể cũng giống vậy.

Harry nhìn bốn con số.

Nghĩa là nó được tạo từ nhiều thứ?

Hermione gật đầu.

Có thể.

Không chỉ một quy luật.

Mà nhiều quy luật cùng lúc.

...

Ý tưởng đó nhanh chóng được đưa đến cho các giáo sư.

Ban đầu, nhiều người cho rằng nó quá phức tạp.

Nhưng giáo sư Số học Phép thuật lại im lặng rất lâu.

Cuối cùng, bà nói:

Điều này từng xuất hiện trong một số nghiên cứu cổ.

\(McGonagall\) hỏi:

Nghiên cứu nào?

Bà lấy ra một cuộn giấy cũ.

Những phù thủy cổ đại từng tin rằng một dãy số mạnh nhất không phải là dãy có quy luật đơn giản nhất.

Mà là dãy được tạo nên từ nhiều quy luật khác nhau.

\(Dumbledore\) nhìn cuộn giấy.

Một sự kết hợp?

Bà gật đầu.

Đúng.

Một sự kết hợp giữa những loại số vốn tưởng như không liên quan.

...

Trong khi đó, tại thế giới của mình, Youtuber_TWK đang hoàn thành những bước cuối cùng.

Trước mặt cậu không phải là một chiếc vạc.

Không phải một cuốn sách phép thuật.

Mà là một hệ thống tính toán khổng lồ.

Trên màn hình hiện lên ba dòng dữ liệu.

Prime component

Catalan component

Fibonacci component

Nhưng bên cạnh đó còn có một dòng khác.

Một dòng được khóa bằng mật mã.

Unknown component

Cậu nhìn dòng chữ ấy rất lâu.

Rồi nói:

Đây chính là phần mà họ chưa biết.

Một người khác hỏi:

Cậu thật sự muốn họ tự tìm ra sao?

Youtuber_TWK gật đầu.

Nếu ta đưa cho họ toàn bộ đáp án, nó sẽ không còn là một bài toán nữa.

Một quy luật chỉ thật sự có ý nghĩa khi người khác có thể tự khám phá nó.

...

Tại \(Hogwarts\), những nghiên cứu mới bắt đầu.

Lần này, họ không chỉ nhìn vào những con số đã xuất hiện.

Họ bắt đầu nghiên cứu cách những con số đó được hình thành.

Những cuốn sách về Số Nguyên Tố được mở ra.

Những tài liệu về Số Catalan được lấy khỏi kho lưu trữ.

Những nghiên cứu về Dãy Fibonacci được xem xét lại.

Nhưng càng tìm hiểu, họ càng nhận ra một điều kỳ lạ.

Ba nhóm số này thực sự có liên quan.

Không phải vì chúng giống nhau.

Mà vì chúng đều từng xuất hiện trong rất nhiều cấu trúc toán học khác nhau.

Chúng là những viên gạch quan trọng.

Nhưng có vẻ...

Chúng chưa phải toàn bộ công trình.

...

Một tuần nữa trôi qua.

Lá thư tiếp theo xuất hiện vào đúng nửa đêm.

Không có tiếng cú.

Không có dấu hiệu báo trước.

Chỉ có một phong thư đặt trên bàn của \(Dumbledore\).

Lần này, tất cả giáo sư đều có mặt.

Không ai muốn bỏ lỡ khoảnh khắc này.

\(Dumbledore\) mở thư.

Mảnh giấy rơi xuống.

Ở giữa là một con số duy nhất.

61

...

Không khí trong phòng thay đổi.

Bởi sự khác biệt giữa 26 và 61 quá rõ ràng.

Dãy số không tăng theo một quy luật đơn giản.

Nhưng nó cũng không hề ngẫu nhiên.

\(Flitwick\) viết các số lên bảng.

5

8

14

26

61

Rồi ông quay lại.

Có thứ gì đó đang ẩn bên dưới.

Không ai phản đối.

Bởi giờ đây mọi người đều chắc chắn.

Người gửi không gửi những con số này để thử thách khả năng tính toán.

Người gửi muốn họ hiểu một ý tưởng lớn hơn.

...

Vài ngày sau, \(Hermione\) tìm thấy một đoạn ghi chú cũ trong thư viện.

Nó không nói về dãy số.

Không nói về phép thuật.

Mà nói về một khái niệm từng bị bỏ quên.

Một "thành phần thứ tư".

Theo ghi chép, trong một số nghiên cứu cổ, các nhà toán học từng nhận ra rằng ba loại quy luật nổi tiếng có thể kết hợp với một cấu trúc khác để tạo nên những dãy số mới.

Nhưng không ai biết cấu trúc đó là gì.

Không ai tìm được cách mô tả nó.

Không ai có đủ dữ liệu.

Hermione đọc đi đọc lại dòng cuối cùng.

Một dãy số gồm nhiều thành phần sẽ luôn che giấu thành phần cuối cùng cho đến khi có đủ số lượng quan sát.

Cô lập tức chạy đến văn phòng hiệu trưởng.

Giáo sư!

Em nghĩ em hiểu ý của người gửi rồi.

\(Dumbledore\) nhìn cô.

Nói ta nghe.

Hermione đặt bản ghi chép xuống.

Đây không chỉ là một dãy số.

Đây là một thử thách để tìm ra thứ tạo nên nó.

Ba thành phần đầu tiên có thể là những thứ chúng ta đã biết.

Nhưng còn một thành phần khác.

Một loại số thứ tư.

Căn phòng im lặng.

Bởi tất cả đều nhận ra.

Điều mà người gửi muốn nói từ đầu.

Mỗi số không chỉ thuộc về một quy luật.

Nó là tổng hợp của nhiều quy luật.

Và một trong số đó vẫn đang bị che giấu.

...

Ở nơi xa xôi kia, Youtuber_TWK nhìn thấy tín hiệu mới.

Một nụ cười xuất hiện.

Bởi những người ở \(Hogwarts\) cuối cùng đã đặt ra đúng câu hỏi.

Không phải:

"Dãy tiếp theo là gì?"

Mà là:

"Dãy này được tạo nên từ những gì?"

...

Một dòng lệnh mới xuất hiện trên màn hình.

Transmission preparing...

Dòng chữ ấy xuất hiện trên màn hình trước mặt Youtuber_TWK trong vài giây.

Cậu không lập tức xác nhận việc truyền dữ liệu.

Bởi những gì sắp được gửi đi không còn chỉ là một giá trị đơn lẻ.

Mỗi con số trước đó giống như một chiếc chìa khóa.

Nhưng chiếc chìa khóa này không mở ra một cánh cửa bình thường.

Nó mở ra cách nhìn hoàn toàn mới về cả dãy số.

Ở \(Hogwarts\), những người đang nghiên cứu cũng đã nhận ra điều tương tự.

Sau khi có năm phần tử đầu tiên, họ không còn cố đoán số tiếp theo bằng những phương pháp thông thường nữa.

Họ bắt đầu đặt câu hỏi mà đáng lẽ họ phải đặt ra ngay từ đầu.

Nếu mỗi phần tử là kết quả của nhiều quy luật kết hợp lại, vậy từng quy luật đó là gì?

...

Trong phòng nghiên cứu của Số học Phép thuật, bảng đen đã gần như kín hoàn toàn.

Trên đó là những ghi chú về các dạng số khác nhau.

Những dòng tính toán dài.

Những giả thuyết bị gạch bỏ.

Những kết luận chưa hoàn chỉnh.

\(Hermione\ Granger\) nhìn lại toàn bộ quá trình nghiên cứu.

Cô nói:

Chúng ta đã cố xem đây là một dãy số bình thường.

Nhưng có lẽ nó chưa bao giờ là một dãy số bình thường.

\(Harry\ Potter\) hỏi:

Vậy nó là gì?

Hermione nhìn những con số.

Một sự kết hợp.

Một dãy được tạo từ nhiều nguồn khác nhau.

\(Ron\ Weasley\) nhìn bảng.

Nhưng nếu có nhiều nguồn như vậy, làm sao chúng ta biết cái nào quan trọng?

Hermione trả lời:

Chúng ta không biết.

Và đó chính là điều người gửi muốn.

...

Tại một nơi khác.

Youtuber_TWK nhấn một nút trên thiết bị.

Một dữ liệu mới bắt đầu được truyền đi.

Không giống những lần trước.

Lần này, thời gian truyền lâu hơn.

Bởi lượng thông tin được gửi lớn hơn.

Nhưng cuối cùng.

Một phong thư xuất hiện tại \(Hogwarts\).

Lần này, \(Dumbledore\) đã chờ sẵn.

Ông mở nó ngay khi nó xuất hiện.

Bên trong vẫn chỉ có một mảnh giấy.

Vẫn chỉ có một con số.

Nhưng con số này khiến mọi người trong phòng im lặng lâu hơn bình thường.

156

...

\(Flitwick\) viết lại toàn bộ dãy hiện có.

5

8

14

26

61

156

Ông nhìn một lúc lâu.

Khoảng cách giữa các phần tử đang thay đổi.

\(Snape\) nói:

Nghĩa là không thể là một quy luật đơn giản.

Giáo sư Số học Phép thuật gật đầu.

Nhưng nó vẫn có cấu trúc.

Một cấu trúc rất rõ ràng.

\(Dumbledore\) nhìn con số mới.

Có lẽ người gửi đang cho chúng ta thấy từng lớp của nó.

...

Những ngày sau đó, nghiên cứu bước sang một giai đoạn mới.

Thay vì tìm kiếm trực tiếp phần tử tiếp theo, họ bắt đầu phân tích các thành phần tạo nên từng phần tử.

Những tài liệu về Số Nguyên Tố \(P\) được lấy ra.

Những công thức liên quan đến Số Catalan \(C\) được kiểm tra.

Những đặc điểm của Dãy Fibonacci \(F\) được so sánh.

Ba hướng nghiên cứu lớn nhất trong lịch sử Số học Phép thuật cuối cùng cũng xuất hiện trong cùng một bài toán.

Nhưng vẫn còn thiếu một thứ.

Một thành phần mà chưa ai biết tên.

Một quy luật thứ tư.

...

Một buổi sáng, khi \(Harry\), \(Ron\) và \(Hermione\) đang trên đường đến lớp, một con cú xuất hiện.

Nhưng lần này nó không mang thư.

Nó mang một chiếc hộp nhỏ.

Bên trong chiếc hộp là một tấm kim loại mỏng.

Trên đó có khắc duy nhất một dòng:

Đừng tìm câu trả lời từ một phần của quy luật.

Hãy tìm quy luật từ toàn bộ câu trả lời.

Hermione đọc xong thì im lặng.

Harry hỏi:

Cậu hiểu không?

Hermione lắc đầu.

Chưa hoàn toàn.

Nhưng mình nghĩ đây là lời hướng dẫn.

...

Ở nơi xa kia, Youtuber_TWK đang quan sát.

Cậu biết họ đã đến rất gần.

Nhưng vẫn còn một thử thách cuối cùng.

Bởi nếu đưa quá nhiều thông tin cùng lúc, mọi thứ sẽ trở nên vô nghĩa.

Một bài toán không còn là bài toán nếu toàn bộ đáp án được viết sẵn.

...

Một thời gian sau.

Lá thư tiếp theo xuất hiện.

Lần này không ai còn bất ngờ.

Mọi người đã quen với việc một con số mới có thể xuất hiện bất cứ lúc nào.

Nhưng khi nhìn thấy nó, tất cả đều nhận ra tốc độ phát triển của dãy đang thay đổi.

Con số tiếp theo là:

462

...

Dãy số lúc này đã trở thành:

5

8

14

26

61

156

462

Không còn nghi ngờ gì nữa.

Đây không phải một chuỗi được tạo ra ngẫu nhiên.

Mỗi phần tử đều mang theo dấu vết của nhiều quy luật khác nhau.

\(Dumbledore\) nói:

Một người tạo ra dãy số này không chỉ hiểu toán học.

Người đó hiểu cách con người khám phá toán học.

...

Tại phòng làm việc của mình, Youtuber_TWK nhìn vào màn hình.

Một dòng thông báo xuất hiện.

Seven transmissions completed.

Cậu mỉm cười.

Chỉ còn ba lần nữa.

Ba mảnh ghép cuối cùng.

...

Lần truyền tiếp theo đến sau đó không lâu.

Lần này, \(Hogwarts\) đã chuẩn bị sẵn mọi thiết bị kiểm tra.

Nhưng kết quả vẫn giống như trước.

Không ma thuật.

Không dấu vết.

Không cách truy tìm nguồn gốc.

Chỉ có một tờ giấy.

Và một con số.

1473

...

Bảy phần tử.

Bảy lần thử thách.

Bảy lần người gửi chứng minh rằng mình có thể gửi thông tin đến \(Hogwarts\) mà không để lại bất kỳ dấu vết nào.

\(Hermione\) bắt đầu viết lại toàn bộ những gì họ biết.

Cô ghi:

• Đây là một dãy số.
• Mỗi phần tử là tổng hợp của nhiều thành phần.
• Có ít nhất ba thành phần đã biết.
• Có một thành phần thứ tư chưa được xác định.

Rồi cô dừng lại.

Bởi cô nhận ra một điều.

Người gửi chưa bao giờ nói rằng đây là một dãy gồm ba loại số.

Người gửi chỉ nói rằng nó liên quan đến ba loại số nổi tiếng.

Có nghĩa là...

Ba loại số kia có thể chỉ là phần nổi của tảng băng.

...

Thời gian tiếp tục trôi.

Một lá thư khác xuất hiện.

Không ai còn đoán xem bên trong có gì.

Bởi họ biết.

Dù là gì đi nữa, nó cũng là một phần của cùng một câu chuyện.

Tờ giấy được mở ra.

Con số tiếp theo hiện lên.

4922

...

Lúc này, ngay cả những giáo sư từng nghi ngờ cũng không còn giữ ý kiến cũ.

Một dãy số bình thường không cần nhiều tháng nghiên cứu như vậy.

Một mật mã bình thường không cần được gửi từng phần như vậy.

Một lời tiên tri bình thường không cần những phân tích toán học phức tạp.

Đây là một công trình.

Một công trình được xây dựng bằng các con số.

...

Cuối cùng.

Sau rất nhiều ngày chờ đợi.

Phong thư cuối cùng xuất hiện.

Không có sự kiện đặc biệt.

Không có ánh sáng.

Không có tiếng động.

Chỉ đơn giản là một phong thư đặt trên bàn.

\(Dumbledore\) mở nó.

Ông nhìn tờ giấy.

Rồi mỉm cười.

Bởi ông biết.

Đây là mảnh ghép cuối cùng của giai đoạn đầu.

Trên giấy là:

16884

...

Mười phần tử đầu tiên của dãy giờ đã xuất hiện.

5

8

14

26

61

156

462

1473

4922

16884

Nhưng câu hỏi thật sự vẫn chưa có lời giải.

Dãy số này được tạo ra như thế nào?

Mỗi số là tổng của những loại số nào?

Ngoài ba thành phần quen thuộc liên quan đến Số Nguyên Tố \(P\), Số Catalan \(C\) và Dãy Fibonacci \(F\), còn có thành phần nào khác?

...

Ở thế giới của mình, Youtuber_TWK nhìn vào màn hình lần cuối.

Dòng chữ mới xuất hiện:

PCF sequence revealed: partially

Cậu nói:

Họ đã có đủ dữ liệu.

Bây giờ đến lúc họ tự tìm ra quy luật.

Bởi vì mục đích của dãy số này chưa bao giờ là để giấu câu trả lời.

Mục đích của nó là để kiểm tra xem có ai đủ khả năng tìm thấy câu trả lời hay không.

Và lời nhắn cuối cùng mà Youtuber_TWK để lại chính là:

Mỗi số thứ \(N\) không chỉ thuộc về ba loại số quen thuộc.

Nó là tổng của bốn loại số.

Dãy số này không được tạo ra chỉ để thử thách khả năng nhận biết quy luật, mà còn để kiểm tra khả năng tìm kiếm một phần tử cụ thể trong vô hạn những giá trị tiếp theo.

Nguyện vọng cuối cùng của ta là: hãy tìm số thứ \(n\) của dãy, sau đó dùng chính giá trị đó để xác định một vị trí mới trong dãy.

Với số thứ \(n\) là \(S_n\), hãy tính vị trí \(k\) theo công thức:

\(k=(S_n\bmod3333)+1\)

Nếu vị trí nhận được không hợp lệ, hãy ghi nhận kết quả là \(-1\).

Ngược lại, hãy tìm phần tử thứ \(k\) của dãy PCF.

Sau khi lời nhắn này được giải mã, các phù thủy tại \(Hogwarts\) mới nhận ra rằng việc tìm ra quy luật của dãy số chỉ là bước đầu tiên.

Điều thật sự mà Youtuber_TWK muốn để lại không phải là một câu trả lời, mà là một nhiệm vụ.

Một nhiệm vụ yêu cầu người giải phải hiểu được cấu trúc của dãy PCF, xác định được các phần tử của nó, và sử dụng chính những phần tử đó để tìm ra vị trí tiếp theo.

Từ đây, bí ẩn của dãy PCF không còn chỉ là một nghiên cứu về Số Nguyên Tố \(P\), Số Catalan \(C\) và Dãy Fibonacci \(F\) nữa.

Nó trở thành bài toán cuối cùng mà Youtuber_TWK gửi lại cho thế giới phép thuật.

Input:

Nhập từ bàn phím \(n\) (\(n<=3333\))

Output:

In ra màn hình kết quả.

Example

1

5
156

3

14 9695506

Scoring

\(Subtask\ 1\) (Chiếm \(50\)% số điểm) \(:\) \(50 < n ≤ 1600\)
\(Subtask\ 2\) (Chiếm \(50\)% số điểm) \(:\) Không ràng buộc gì thêm