\(\color{red}{\text{Spoiler Alert}_{{}_{{}^{{}^{v2.0}}}}}\)

\(\color{red}{\text{Khuyến khích bạn đọc trước khi đọc phần lời giải xin hãy thử code ra thuật của mình dù nó có sai hay đúng}}\)

\(\color{red}{\text{Sau đó từ phần bài giải và thuật toán trước đó mà đối chiếu, rút nhận xét với thuật của mình và thu được bài học (không lãng phí thời gian đâu).}}\)

\(\color{orange}{\text{Hint 1}}\)

• Đọc các bài hướng dẫn dưới đây

Tính chất modulo cơ bản

\(x ^ n \mod m\)

\((a \times b) \mod m\)

\(\color{goldenrod}{\text{Approach <Divide-and-conquer>}}\)

• Công thức toán chính

Khi \(n = 0\) thì \(res = x ^ 0 = 1\)

Khi \(n\) chẵn thì \(x \times n = x ^ {\lfloor \frac{n}{2} \rfloor} + x ^ {\lfloor \frac{n}{2} \rfloor}\)

Khi \(n\) lẻ thì \(x \times n = x ^ {\lfloor \frac{n}{2} \rfloor} + x ^ {\lfloor \frac{n}{2} \rfloor} + x\)

Khi \(b = 0\) thì \(res = a \times 0 = 0\)

Khi \(b\) chẵn thì \(a \times b = a \times \lfloor \frac{b}{2} \rfloor + a \times \lfloor \frac{b}{2} \rfloor\)

Khi \(b\) lẻ thì \(a \times b = a \times \lfloor \frac{b}{2} \rfloor + a \times \lfloor \frac{b}{2} \rfloor + a\)

• Công thức toán dưới modulo (để tránh thành số lớn)

Khi \(n = 0\) thì \(res = x ^ 0 \mod m = 1\)

Khi \(n\) chẵn hay \(n \equiv 0 \pmod 2\) thì \((x ^ n) \mod m = ((x ^ {\lfloor \frac{n}{2} \rfloor} \mod m) + (x ^ {\lfloor \frac{n}{2} \rfloor} \mod m)) \mod m\)

Khi \(n\) lẻ hay \(n \equiv 1 \pmod 2\) thì \((x ^ n) \mod m = ((x ^ {\lfloor \frac{n}{2} \rfloor} \mod m) + (x ^ {\lfloor \frac{n}{2} \rfloor} \mod m) + (x \mod m)) \mod m\)

Khi \(b = 0\) thì \(res = (a \times 0) \mod m = 0\)

Khi \(b\) chẵn hay \(b \equiv 0 \pmod 2\) thì \((a \times b) \mod m = (((a \times \lfloor \frac{b}{2} \rfloor) \mod m) + ((a \times \lfloor \frac{b}{2} \rfloor) \mod m)) \mod m\)

Khi \(b\) lẻ hay \(b \equiv 1 \pmod 2\) thì \((a \times b) \mod m = (((a \times \lfloor \frac{b}{2} \rfloor) \mod m) + ((a \times \lfloor \frac{b}{2} \rfloor) \mod m) + (a \mod m)) \mod m\)

\(\color{green}{\text{Preference AC Code }}\): Bitwise, Divide-and-conquer, Deep-optimized

\(^{^{\color{purple}{\text{Complexity : }} O(\log^2(n))\ \color{purple}{\text{time}}\ ||\ O(1)\ \color{purple}{\text{memory}}}}\)

ll addMOD(ll a, ll b, ll m = MOD) { return (a + b) % m; }
ll mulMOD(ll a, ll b, ll m = MOD) {
    ll res = 0;
    for (a %= m, b %= m; b > 0; a = addMOD(a, a, m), b >>= 1)
        if (b & 1) res = addMOD(res, a, m);

    return res;
}
ll powMOD(ll x, ll n, ll m = MOD) {
    ll res = 1;
    for (x %= m; n > 0; x = mulMOD(x, x, m), n >>= 1)
        if (n & 1) res = mulMOD(res, x, m);

    return res;
}